Triangle et Conique


cubiques circulaires focales partageant foyer et asymptote

Il existe des infinités de coniques tangentes à un triangle mais si on leur impose d'être aussi tangentes à une droite supplémentaire alors elles forment une famille dont le lieu des foyers est une cubique circulaire focale aux propriétés remarquables.

La dégustation du livre "géométrie analytique classique" de J.D. Eiden, qui a inspiré ces lignes, est très recommandée en raison du ton inimitable et de l' humour de l'auteur!

Les deux aspects principaux de la cubique circulaire focale (en bleu).

Le foyer de la cubique, situé sur le cercle circonscrit, est le point de Miquel du quadrilatère, (foyer aussi de la parabole tangente au quadrilatère, en gris).
Son asymptote est parallèle à la droite de Newton et s'en déduit par une homothétie de rapport 2 à partir du foyer, (elle est aussi perpendiculaire à la droite de Steiner du foyer).
Le centre d'une conique inscrite est situé sur la droite de Newton, (les foyers sont inverses isogonaux).


Le triangle est une figure géométrique aux propriétés infinies et qui recèle des structures très fortes.

Les médianes et les bissectrices, entre autres, concourent, les premières au centre de gravité G, le point le plus fondamental, les secondes au centre du cercle inscrit I.
Ce n'était pas acquis d'avance!
Mais, bien plus fort, on peut "découpler" le point G et on obtient alors deux points conjugués appelés isotomiques.
Faisant de même avec le point I on obtient deux points conjugués dénommés isogonaux.

Le point G est son propre isotomique et le point I son propre isogonal.

P' est l'isotomique de P et P" son isogonal,etc...
 
Le point de Lemoine K, appelé point symédian, doit son nom au fait qu'il est l'isogonal de G et qu'il est donc le point de concours des céviennes symétriques des médianes par rapport aux bissectrices. Les points de Brocard B et B" sont des isogonaux particuliers car l'angle d'isogonalité est alors identique pour les trois sommets du triangle!
La valeur de cet angle, qui se calcule (entre autres formules) par tan(omega) = 1/(1/tan(Â)+1/tan(^B)+1/tan(^C)), caractérise une famille de triangles co-brocardaux.

D'autres couples sont célèbres: les isogonaux orthocentre (H) et centre du cercle circonscrit (O), et les isotomiques point de Nagel (Na) et point de Gergone (Ge).


INTERSECTION D'UNE CONIQUE AVEC LES COTÉS D'UN TRIANGLE


Lazare Carnot (1753-1823), le "Grand Carnot", a été un général révolutionnaire, un homme politique et un géomètre émérite. Régicide, il est mort en exil en Allemagne.
Son fils ainé Sadi (1796-1832), ainsi prénommé en hommage au poète persan Saadi, fut l'un des pères de la Thermodynamique.
L'un de ses petits fils, prénommé aussi Sadi (1837-1894), cinquième Président de la République Française, de 1877 à 1894, est mort poignardé par l'anarchiste italien Casério à Lyon.

Le théorème de Carnot date de 1806: il établit notamment la condition nécessaire et suffisante pour qu'une conique passe par deux points choisis sur chacun des cotés d'un triangle.

théorème de Carnot

En désignant par "a" la quantité égale à (BQ*BP)/(CQ*CP) et par "b" et "c" les mêmes quantités relatives aux deux autres cotés, la condition s'écrit: a*b*c* = 1.
Ce théorème permet, entre autres, la construction du point d'intersection d'une conique connue par 5 points avec une droite passant par l'un de ces points.
Il permet aussi la construction d'une conique connue par 4 points et tangente à une droite.
Certains cas particuliers sont féconds.
En effet si les six points sont les pieds de deux triplets de céviennes concourantes, le théorème de Céva montre que la condition est remplie:

les pieds de deux triplets de céviennes concourantes sont sur une conique


dans la configuration de Terquem, la conique est un cercle

(On a aussi dessiné sur la figure la droite polaire triangulaire du point T.)

Si sur chaque coté du triangle les deux points sont symétriques autour de son milieu, on obtient: a = b = c = 1 et la condition est remplie:

conique passant par des points symétriques

Si les six points symétriques sont deux à deux confondus on obtient l'ellipse de Steiner.

Les cercles de Tucker ont leur correspondants que l'on peut appeler les "ellipses de Tucker":

les "ellipses de Tucker"

En effet, pour un point M donné et pour un coefficient donné, les cotés de l’hexagone de Tucker coupent les cotés du triangle en six points qui remplissent la condition du théorème de Carnot et qui sont donc situés sur une même ellipse.
Le centre c de cette conique est situé sur la droite M X où le point X est ainsi déterminé:
Les parallèles aux cotés de l'hexagone passant par les sommets du triangle se coupent en trois points L, L', L". Les droites passant par ces trois points et par les pieds des médianes concourent au point X.
Si le point M coïncide avec le point symédian K, le point X coïncide alors avec le centre O du cercle circonscrit et l'ellipse devient alors un cercle de Tucker.


les "ellipses de Tucker" sont "tangentes" à l’ellipse tri-tangente dont le point cévien est M

Si le point M coïncide avec le point symédian K, l'ellipse tri-tangente est celle de Brocard.

Pour le coefficient 1/2 on obtient la "première ellipse de Lemoine":

la "première ellipse de Lemoine"

Le centre de l'ellipse est au milieu du segment M X

Pour le coefficient -1 on obtient la "seconde ellipse de Lemoine":

la "seconde ellipse de Lemoine"

Cette ellipse présente la particularité que son centre coïncide avec le point donné M.
On a ainsi un procédé commode pour construire une ellipse dont le centre est donné et dont les intersections avec le triangle sont diamétralement opposés.

Dans un triangle, les points de contact des cercles inscrit et ex-inscrits présentent la propriété de symétrie:

les points de contact appartiennent aux deux ellipses en rouge

Les points de Gergonne et de Nagel (points isotomiques) sont les points de concours des deux triplets de céviennes relatifs à l'ellipse interne.
 Le cercle d'Euler du triangle (en vert) formé par les centres des cercles ex-inscrits est le cercle circonscrit au triangle initial, et son orthocentre est le centre du cercle inscrit.


CONIQUES CIRCONSCRITES A UN TRIANGLE

On démontre (Jean-Denis Eiden) que les centres des coniques circonscrites à un triangle et passant par un quatrième point donné du plan sont situés sur une conique.
Cette conique présente les particularités suivantes:
elle passe par les pieds des médianes et par les pieds des céviennes issues du quatrième point: c'est la conique construite avec deux triplets de céviennes dont l'un correspond au centre de gravité du triangle;
 elle passe encore par les milieux des segments joignant le quatrième point aux sommets du triangle.
C'est la conique des neuf points, à rapprocher du cercle des neufs points d'Euler.

en bleu la conique des 9 points associée au point M

Son centre est sur le segment joignant le centre de gravité au point M avec e M = 3 * e G.
Les segments joignant les pieds des médianes et les milieux de M A, M B, M C sont des diamètres.
Le point Q, quatrième point d'intersection de la conique et du cercle d'Euler, se construit aisément en utilisant la propriété du parallélisme entre les axes et les bissectrices des diagonales du quadrilatère inscrit.
En rouge la conique de centre c du faisceau ABCM.

La conique des neuf points est une hyperbole si l'isogonal du point M est extérieur au cercle circonscrit:

en bleu l'hyperbole des neuf points


en bleu l'hyperbole équilatère des neuf points

Si le point M appartient au cercle circonscrit la conique des neuf points est équilatère et passe par le centre du cercle circonscrit qui est alors l'une des coniques du faisceau.
 Le quatrième point d'intersection avec le cercle d'Euler est alors le milieu du segment joignant le point M à l'orthocentre H.
Sur la figure est dessinée en rouge la conique du faisceau centré sur ce quatrième point: elle est équilatère et passe par l'orthocentre indépendamment de la position du point M.
Son isogonale passe par le centre du cercle circonscrit, point isogonal de l'orthocentre.

en bleu la parabole des six points

Si le point M est à l’infini, dans une direction donnée, la conique des neuf points devient la parabole des six points, trois étant rejetés à l'infini.
Toutes les coniques du faisceau passent par le point M à l'infini: l'une des asymptotes est parallèle à la direction donnée.
Leurs isogonales passent par le point fixe du cercle circonscrit correspondant à l'isogonale de la direction donnée (ici m1).

en bleu la conique des neuf points du faisceau de coniques tangentes en un sommet

Si le point M est confondu avec un sommet on peut considérer que cela revient à donner une direction, ici la direction A L.
La conique des neuf points n'en compte alors plus que cinq mais elle est particulière.
Son centre est au milieu de la médiane issue du sommet.
On établit (Jean-Denis Eiden) que les tangentes aux points qui sont les milieux de A B et A C sont parallèles à la direction donnée,
que les intersections de celles-ci avec les cotés A B et A C livrent le point d’intersection des tangentes en A et en L avec le coté B C,
et que les isogonales de toutes les coniques du faisceau passent par un point fixe A" situé sur le coté B C et qui répond à la propriété suivante:
B A"/C A" = (A C^2 / A B^2)*(C L / B L).

Les coniques du faisceau général se construisent aisément:

en rouge la conique de centre c du faisceau associé au point M

L'isogonale de la conique est la droite m1 m2 passant par le point M" isogonal du point M. Elle coupe le cercle ciconscrit en m1 et m2 qui correspondent aux points à l'infini de la conique. Les directions isogonales associées sont donc celles des asymptotes. L'angle des asymptotes est donné par arcsin(m1m2/(2 * R)).
De la même façon, la direction isogonale associée à la droite m1 m2 donne le point Z quatrième point d'intersection avec le cercle circonscrit.

CAS DES HYPERBOLES ÉQUILATÈRES CIRCONSCRITES

Une conique circonscrite à un triangle est une hyperbole équilatère ssi elle passe par l'orthocentre H. Son centre est alors sur le cercle des neufs points d'Euler.
Son inverse isogonale est une droite passant par le centre du cercle circonscrit, puisque ce point est l'isogonal de H, et son inverse isotomique est une droite passant par l'isotomique H' de H, baptisé X 69 par Kimberling. Les asymptotes sont les droites de Simson des points d'intersection du cercle circonscrit et de la droite inverse isogonale.

Le symétrique H1 de l'orthocentre H par rapport à son centre est le quatrième point d'intersection de l'hyperbole et du cercle circonscrit au triangle.
Une construction simple de l'hyperbole consiste à associer à un point du cercle circonscrit la droite le joignant à ce quatrième point d'intersection et sa droite de Steiner.
L'intersection de ces deux droites appartient à l'hyperbole puisque la vitesse de rotation de la droite de Steiner autour de H est le double de celle de l'autre droite autour de H1.
Comme toutes les droites de Simson, les asymptotes sont tangentes à la deltoïde de Steiner du triangle dessinée ci-dessous en vert.

hyperbole équilatère circonscrite et ses inverses


CONIQUES INSCRITES

Brianchon a établi que les coniques inscrites dans un triangle sont telles que les céviennes des points de contact sont concourantes en un point appelé depuis
point de Brianchon.
Ce point est encore l'isotomique du point "complémentaire" du centre de la conique (P' est le complémentaire de P si vecteur(P,G) = 2*vecteur(G,P')).

En vertu du théorème de Carnot les points de contact de deux coniques tri-tangentes sont sur une conique:

conique des points de contact

Enfin Poncelet a établi que les foyers de la conique tri-tangente sont isogonaux.
On peut ainsi construire la conique tri-tangente à partir de la seule donnée du centre ou du point de Brianchon ou d'un foyer.

les constituants de l’ellipse tri-tangente




Certaines ellipses tri-tangentes sont célèbres:

ellipse orthique (1), cercle inscrit (2), ellipse de Brocard (3), de Mac Beath (4), de Mandart (5), de Lemoine, de Steiner,
ellipse de point de Brianchon le centre du cercle circonscrit (6), ellipse de centre ce même centre (7)

Le centre de gravité G joue un rôle central, au carrefour des centres des ellipses, de leurs "complémentaires" et des points de Brianchon, les rôles des uns et des autres s'inversant.

La droite passant par l'orthocentre et parallèle à l'axe de Brocard O K passe par les isotomiques de O, de K et de H.

La figure met en évidence la très forte structure des points établissant les relations entre triangle et ellipses inscrites.



ELLIPSES INSCRITES ET HYPERBOLES ÉQUILATÈRES CIRCONSCRITES

Si on impose au point de Brianchon d'une ellipse tri tangente d'appartenir à une hyperbole équilatère circonscrite on obtient une famille d'ellipses.
Leurs centres sont situés sur la droite passant par le point symédian K et parallèle à l'inverse isotomique de l'hyperbole.
C'est un effet de la relation entre centre et point de Brianchon de l'ellipse inscrite et du fait que l'isotomique H' de l'orthocentre n'est  autre que le "complémentaire" du point symédian.


Une ellipse appartient à toutes les familles générées par les hyperboles équilatères circonscrites,
c'est l'ellipse orthique dont le point de Brianchon est l'orthocentre et le centre, le point symédian.

Trois géomètres ont étudié trois hyperboles équilatères particulières:

Jerabek, mathématicien tchèque (1845-1931), s'est intéressé à celle qui passe par le centre du cercle circonscrit,
Feuerbach, mathématicien allemand (1800-1834), à celle qui passe par les points de Nagel et de Gergonne
et Kiepert, mathématicien allemand (1846-1934), à celle qui passe par le centre de gravité.

Chacun des trois a mis en évidence des propriétés propres à son hyperbole et a ainsi fait une sorte de radiographie du squelette du triangle.

l'hyperbole de Jerabek

Cette hyperbole est l'isogonale de la droite d'Euler O H.
A ce titre elle passe par l'isogonal de G soit K et par l'isogonal du centre du cercle d'Euler, E" baptisé X 54 (point de Kosnita).

Mais elle est aussi l'isotomique de la droite H H' où H' est l'isotomique de H, A ce titre elle passe par les isotomiques O' et K' de O et de K.
La figure fait apparaître, en bleu, un premier quadrilatère structurant, en X, dont deux cotés sont parallèles, les deux autres se coupant en G au tiers de leur longueur.

On constate que le point noté R, intersection de la droite joignant les centres des cercles inscrit I et circonscrit O et de celle qui joint les points de Nagel (Na) et de Gergonne (Ge), appartient aussi à l'hyperbole, son isotomique R' étant situé sur H  K' et son isogonal R" sur la droite d'Euler.

D'autres circonstances sont inattendues:
l'isotomique E' du centre Eu du cercle des neufs points et son isogonal E" (X54) sont alignés avec H' (X69), O et son isotomique O' sont colinéaires avec E'.
La droite joignant les points de Nagel et de Gergonne passe par les isotomiques I' et H' de I et H. I et son isotomique I' sont colinéaires avec R'.

Les centres des ellipses inscrites dont le point de Brianchon est situé sur l'hyperbole appartiennent à l'axe de Brocard O K.
Pour le point de Brianchon en H, on a l'ellipse orthique de centre K, celle-ci passe par le centre de l'hyperbole (X125) et ses axes sont parallèles aux asymptotes.
Pour le point de Brianchon en H', l'ellipse a son centre en O, elle passe aussi par le centre de l'hyperbole et ses axes ont la même caractéristique.

Centre de Spieker et Mittenpunkt

Le centre de Spieker est le centre du cercle inscrit dans le triangle formé par les milieux des cotés (triangle médial).
Le Mittenpunkt est le point de concours des céviennes du triangle formé par les trois centres des cercles exinscrits, qui passent par les milieux des cotés.
Il est aussi le point symédian de ce triangle formé des centres des cercles exinscrits.


Le centre de Spieker S est situé sur la droite passant par le centre du cercle circonscrit I, le centre de gravité G et le point de Nagel Na.
Cette droite, dite droite de Nagel (IGSN), a la particularité, comme la droite d'Euler (OGEH), de porter des points auto-complémentaires.
Le Mittenpunkt est à l'intersection des droites K I, G Ge (où Ge est le point de Gergonne) et S H.
Les isotomiques et isogonaux de ces deux points sont présents sur des alignements remarquables.

 
l'hyperbole de Feuerbach

Cette hyperbole est l'isogonale de la droite joignant les centres O et I des cercles circonscrit et inscrit.
Elle est tangente en I à cette droite puisque ce point est son propre isogonal.
Elle passe par le Mittenpunkt.

Mais elle est aussi l'isotomique de la droite qui porte H' et les deux points de Nagel (Na) et Gergonne (Ge), deux points isotomiques.
Le point R, intersection de I O avec cette droite, est donc situé sur les deux droites isogonale et isotomique de l'hyperbole. Celle-ci passe donc par R' son isotomique et R" son isogonal.
La figure fait apparaître, en rouge, un second quadrilatère structurant, en X, dont deux cotés sont parallèles, les deux autres se coupant en G au tiers de leur longueur.

Le segment joignant le centre de Spieker S ou centre du cercle d'Euler Eu est parallèle au segment O I dont la longueur est double.

Il apparait que le point R" est à l'intersection des droites joignant d'une part le point de Nagel à l'isogonal du point de Gergonne (Ge") et d'autre part le point de Gergonne à l'isogonal du point de Nagel (Na").

Les centres des ellipses inscrites dont le point de Brianchon est situé sur l'hyperbole appartiennent à la droite K I.
Pour le point de Brianchon en Na, point de Nagel, on a l'ellipse de Mandart dont le centre est au Mittenpunkt, celle-ci passe par le point de Feuerbach (X11), centre de l'hyperbole, et ses axes sont parallèles aux asymptotes.
Pour le point de Brianchon en Ge, point de Gergonne, on a le cercle inscrit qui passe bien au point de Feuerbach où cercle d'Euler et cercle inscrit sont tangents.

l'hyperbole de Kiepert

Cette hyperbole est l'isogonale de la droite joignant O et K, dite axe de Brocard.
Elle passe par le centre de Spieker.

Mais elle est aussi l'isotomique de la droite K G et elle est donc tangente en G à cette droite puisque le centre de gravité est son propre isotomique.
Le point K est donc situé sur les deux droites isogonale et isotomique de l'hyperbole. Celle-ci passe donc par K' isotomique de K.

La figure fait apparaître, en vert, un troisième quadrilatère structurant, en X, dont deux cotés sont parallèles, les deux autres se coupant en G au tiers de leur longueur.

L'isotomique M' du Mittenpunkt M est sur la droite joignant les points de Nagel Na et de Gergonne Ge, son isogonal M" étant, comme lui-même, sur la droite G Ge.

Les centres des ellipses inscrites dont le point de Brianchon est situé sur l'hyperbole appartiennent à la droite K G qui se trouve être la droite isotomique.
Une seule ellipse inscrite (l'autre est à l'infini) passe alors par le centre de l'hyperbole (X115) et présente des axes parallèles aux asymptotes, c'est celle qui a son centre et son point de Brianchon confondus avec le centre de gravité: la très célèbre ellipse inscrite de Steiner.
Cette ellipse est tangente aux cotés en leurs milieux. Ses foyers sont les points de Lucas.
C'est l'ellipse inscrite qui a la surface maximale, le rapport de cette surface à celle du triangle est égal à pi/(3rac(3)), soit 0.6046...

la synthèse des trois structures centrées sur le centre de gravité
(...telles la foudre brandie
dans les nuées par Zeus ...)


LA GÉOMÉTRIE DE STEINER (partie...)

Jacob Steiner (1796-1863) est un géomètre suisse qui a fait carrière à Berlin.
Savant exceptionnel, professeur de mathématiques, il appliquait les principes éducatifs enseignés à Yverdon par le grand pédagogue suisse Johan Pestalozzi (1746-1827), lui-même inspiré par les idées rousseauistes. Steiner donnait une place privilégiée à l'intuition.
(voir l'excellent article d'Anne Boyé, de l'Université de Nantes, "Jacob Steiner, un géomètre romantique?" copyright L'OUVERT 85)

ellipse de Steiner et hyperbole de Kiepert

Les points d'intersection des asymptotes de l'hyperbole avec la droite K G sont situés sur l'ellipse.
Le point symédian K est le point de Frégier du centre de l'hyperbole: la droite K X115 est la normale à l'ellipse.
Soit X' l'isotomique du point X de l'hyperbole et M le point complémentaire de X', alors la droite X M est la tangente à l'hyperbole en X.
La droite K H est donc la tangente à l'hyperbole au point H orthocentre du triangle.

ellipses de Steiner et point de Steiner

Soit X un point de l'hyperbole de Kiepert (en vert), X' son isotomique et X2 (en bleu) son anti-complémentaire (i.e. X est le complémentaire de X2).
Lorsque X décrit l'hyperbole de Kiepert (en vert) le point X2 décrit une hyperbole (en bleu) que l'on peut qualifier d’anti-complémentaire de l'hyperbole de Kiepert.
Cette hyperbole anti-complémentaire n'est autre que l'hyperbole de Kiepert du triangle anti-complémentaire (en bleu) de celui de départ.

Son centre est l'anti-complémentaire du centre X115, il est situé sur le cercle circonscrit au triangle initial qui est aussi le cercle des neufs points du triangle anti-complémentaire.
Ce centre n'est autre que le point de Steiner du triangle initial.
Il est diamétralement opposé au quatrième point d'intersection de l'hyperbole et du cercle circonscrit du triangle initial, point dénommé point de Tarry.

Les deux hyperboles ont une tangente commune au centre de gravité commun aux deux triangles: la droite K G qui est aussi leur droite isotomique commune.
Les deux triangles partagent encore les mêmes médianes et la même droite d'Euler.

L'hyperbole de Kiepert du triangle anti-complémentaire (en bleu) est l'enveloppe de la droite X' X2.
L'isotomique X'2 (en bleu) du point X2 et son isogonal X"2 (en bleu) relativement au triangle initial sont situés sur la droite X' X2.

Ainsi, tout point de l'hyperbole de Kiepert est aligné avec son isotomique et son isogonal relativement au triangle médial ainsi qu'avec son complémentaire.

L'ellipse inscrite de Steiner (en vert clair) du triangle anti-complémentaire est l'ellipse circonscrite de Steiner du triangle initial (en vert foncé).
Cette ellipse circonscrite est celle qui présente la surface minimale (4 fois celle de l'ellipse inscrite).

ellipse de Steiner circonscrite et parabole inscrite

Une parabole est inscrite dans un triangle ssi son foyer appartient au cercle circonscrit. Sa directrice est alors la droite de Steiner du foyer.

parabole inscrite

Lorsque le foyer décrit le cercle circonscrit, son point de Brianchon B décrit l'ellipse de Steiner et la droite joignant ce point au foyer F passe par le point de Steiner.
La droite joignant les deux points de contact des tangentes à la parabole depuis le centre de gravité G enveloppe l'ellipse de Steiner.

une propriété de la parabole inscrite:

la surface du triangle cévien du point de Brianchon est constante et égale au double de celle du triangle de base

Les parallèles à l'axe de la parabole, menées depuis les trois points de contact, passent chacune par un point fixe. Ces trois points P Q R ne sont autres que les sommets du triangle anti-complémentaire du triangle de base. Les deux triangles tracés en vert sont égaux car ils forment un trapèze et leur surface est double de celle du triangle de base.

Si on impose à la parabole d'être aussi tangente à une droite sécante A'B'C' du triangle ABC, on obtient la figure de Miquel (1816-1851) dans laquelle
le foyer de la parabole est le point de Miquel du quadrilatère.

en rouge le cercle de Miquel du quadrilatère ABCA'B'C'

Les cercles circonscrits aux quatre triangles concourent au point M dit point de Miquel.
Leurs centres O, O1, O2, O3, ainsi que le point de Miquel sont cocycliques sur le "cercle de Miquel"
Notant u l'angle commun, dessiné en bleu clair, d'inclinaison des droites M A', M B', M C' sur les cotés du triangle, les trois centres O1, O2 et O3 forment un triangle déduit du triangle de base par une similitude de centre M, d'angle (pi/2 - u) et de rapport égal à 1/(2sin(u)). Il en découle que les rayons des cercles de centres O1, O2, O3, qui sont les cotés de ce triangle, obéissent, par application du théorème de Ptolémée au quadrilatère ABMC, à l'égalité: a x R1 = b x R2 + c x R3 (avec des notations évidentes).
Les symétriques de M par rapport aux cotés du triangle O1 O2 O3 sont les point A' B' C'.
 Les orthocentres des quatre triangles sont alignés sur la directrice de la parabole inscrite dans le quadrilatère.
On note aussi que les céviennes du triangle de base concourant au point O, centre du cercle circonscrit, coupent les autres cercles à leurs intersections avec le cercle de Miquel qui compte ainsi huit points remarquables.

La parabole inscrite dite de Kiepert est celle dont le point de Brianchon est au point de Steiner:

parabole de Kiepert et ellipse de Steiner

La figure montre une construction simple du point de Steiner:
La parallèle à la droite d'Euler passant par le sommet A recoupe le cercle circonscrit en un point D. La perpendiculaire en ce point au coté opposé B C coupe ce cercle au point X110.
La droite X110 G recoupe le cercle circonscrit au point de Tarry qui est diamétralement opposé au point de Steiner.
Le foyer de la parabole de Kiepert est le point X110. Sa directrice est la droite d'Euler.
Les tangentes à la parabole depuis le centre de gravité sont les bissectrices des angles de droites O H (Euler) et G X110: ce sont aussi les axes de l'ellipse.


ellipse inscrite de Steiner

Les quatre tangentes au cercle d'Euler aux points de Feuerbach sont aussi tangentes à l'ellipse.
Une construction des axes communs aux deux ellipses de Steiner consiste à utiliser le cercle qui a pour diamètre le segment joignant le centre de gravité G à l'orthocentre H.
En effet les extrémités du diamètre de ce cercle qui passe par le point symédian K appartiennent aux axes.


une parabole extraordinaire

Par trois points il ne passe qu'une seule parabole dont l'axe est parallèle à une direction donnée.
La parabole circonscrite au triangle et dont l'axe est perpendiculaire à la droite d'Euler est dessinée en rouge dans la figure ci-dessus.
Cette parabole passe par les deux points de contact des tangentes menées depuis le centre de gravité à la parabole de Kiepert.
Elle passe aussi par le point W symétrique du point X 110 par rapport à la droite d'Euler.
Si U est le point symétrique du point de Steiner par rapport au centre de gravité, la droite parallèle menée de ce point U à la droite S X110 est tangente à l'ellipse de Steiner.
Soit V le point d'intersection de cette droite avec la droite menée du centre de gravité perpendiculairement à la droite d'Euler.
Ce point V appartient encore à la parabole, mieux, la droite U V est tangente à la fois à l'ellipse et à la parabole.
Cette parabole a pour inverse isotomique la tangente à l'ellipse de Steiner au point de Steiner.
Elle passe par sept points remarquables dont l'un compte double.


paraboles passant par 4 points

Les droites isotomiques des deux paraboles passant par les sommets d'un triangle et un quatrième point M sont tangentes à l'ellipse de Steiner du triangle.
Si l'isotomique M' du point M est intérieur à cette ellipse, aucune parabole ne passe par les quatre points.


le cas des céviennes parallèles

Si le point de Brianchon M est à l'infini on parle de céviennes parallèles.
Son isotomique M' appartient alors à l'ellipse circonscrite de Steiner et le centre de la conique, dont il est le complémentaire, appartient à l’ellipse inscrite de Steiner.
La conique, dessinée en rouge ci-dessus, est une hyperbole, son point de Brianchon étant extérieur à l'ellipse (en bleu une parabole dont le point de Brianchon appartient à l'ellipse circonscrite de Steiner.


une propriété remarquable de l'ellipse de Mac Beath

L'ellipse de Mac Beath a pour foyers le centre O du cercle circonscrit et l'orthocentre H, pour centre le centre du cercle d'Euler et pour point de Brianchon l'isotomique O' du centre O. Son cercle principal est le cercle d'Euler.
Les triangles qui partagent le même cercle circonscrit et le même orthocentre sont donc tous tangents à l'ellipse.
Leurs points symédians K sont situés sur un même cercle dont le centre P est sur la droite O H à une distance de O égale à: 2.R.rac(1-U) / U, et dont le rayon est: 2.R.(1-U) / U
où R est le rayon du cercle circonscrit et U la quantité égale à: (a^2+b^2+c^2)/(9.R^2).
On rappelle que la distance O H est égale à: rac(9.R^2-(a^2+b^2+c^2)) ce qui s'écrit aussi 3.R.rac(1-U).

Steiner, Brocard et Neuberg

premier triangle de Brocard et point de Steiner

Les céviennes parallèles aux cotés du premier triangle de Brocard sont concourantes au point de Steiner.
Les deux triangles ont même centre de gravité, ils sont inversement semblables dans le rapport rac(1 - 4 (sin(omega))^2)/(2cos(omega)) où omega est l'angle de Brocard.


cercles de Neuberg et point de Steiner

Les cercles de Neuberg sont, pour chaque coté du triangle de base, le lieu des points qui forment avec ce coté les triangles présentant le même angle de Brocard.
Leurs centres sont situés sur les médiatrices des cotés du triangle et ils sont tangents à la droite joignant le point de Steiner au troisième sommet.
Le rapport entre leur rayon et le coté concerné du triangle de Brocard est égal à tan(omega).
Les céviennes passant par leurs centres sont concourantes au point de Tarry diamétralement opposé au point de Steiner.

 
deuxième triangle de brocard

Les points d'intersection, entre eux, des cercles de construction des points de Brocard, autres que ceux-ci, déterminent les sommets du second triangle de Brocard.
Les sommets de ce triangle sont les milieux des cordes interceptées sur le cercle circonscrit par les symédianes,
ce qui en fait les foyers des paraboles tangentes aux cotés du triangle de base à ses sommets.

Points de Brocard et triangle d'or
Les triangles d'or successifs obtenus par enroulement partagent un même point de Brocard, centre de la spirale logarithmique:

point de Brocard et spirale logarithmique

Les points de Brocard sont les points de convergence des sommets des triangles emboîtés par rotation:


Par contre c'est vers leur centre de gravité commun que convergent les sommets des triangles emboîtés par réduction proportionnelle:


Et les points de Brocard ne sont pas concernés non plus par les courbes de poursuites mutuelles (sauf pour le cas trivial du triangle équilatéral):

chacun des trois chiens poursuit, à la même vitesse, celui qu'il a en ligne de mire

Leur rencontre n'est pas concomitante, les deux plus éloignés lors du départ se rejoignant les premiers, et elle ne se produit pas à un point de Brocard...




coniques partageant un foyer et 3 points


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