Triangle et ... trinité!





Il aura fallu les travaux s'étageant sur deux siècles du mathématicien écossais Robert Simson (1687-1768), du géomètre suisse Jacob Steiner (1796-1863) et du mathématicien anglais Frank Morley (1860-1937) pour débusquer dans tout triangle l'existence d'une double structure immanente équi-angulaire.

C'est Poncelet (1788-1867) qui aurait attribué le théorème de Simson à l'écossais. Morley, lui, a découvert le sien en 1899 lors de recherches sur les cardioïdes tangentes au triangle.

La droite de Simson et la deltoïde de Steiner

 Les projections orthogonales, sur les cotés d'un triangle, d'un point du cercle circonscrit sont alignées sur une droite appelée droite de Simson associée au point P.
Cette droite enveloppe une hypocycloïde à trois rebroussements (H3) appelée deltoïde de Steiner du triangle.

La deltoïde a pour centre le centre du cercle d'Euler des neuf points et elle est tangente à ce cercle de rayon R / 2 où R est le rayon du cercle circonscrit.
Les cotés et les hauteurs du triangle ayant la qualité de droites de Simson, la deltoïde leur est tangente.
Chaque axe de symétrie de la deltoïde fait un angle avec le coté opposé égal à pi/2 - (Â1 - Â2) / 3 où Â1 et Â2 sont les angles aux sommets du coté concerné.
Le point de contact S de la droite et de la deltoïde se construit en le plaçant sur le cercle de rayon R / 2 qui roule sans glisser à l'intérieur du cercle de rayon 3 R / 2.

La surface de la deltoïde est égale à pi.R^2 / 2, celle du triangle à (sin(2A)+sin(2B)+sin(2C)).R^2 / 2.
La longueur de la deltoïde vaut 8.R, le périmètre du triangle: 2.R.(sin(A)+sin(B)+sin(C)).

dessinée en rouge, la droite de Simson associée au point P et tangente en S à la H3 dessinée en bleu

les segments en rouge, de longueur uniforme 2.R, sont tangents à la H3

Une des difficultés de la H3, enveloppe des droites de Simson, vient de ce qu'elle implique la trisection de l'angle, problème insoluble à la règle et au compas.
Les grecs avaient une méthode par ajustage:

en déplaçant une réglette le long du diamètre d'un cercle on obtient une trisection

Une méthode géométrique est basée sur les propriétés réciproques du cercle et de l'hyperbole équilatère.

les propriétés extraordinaires des intersections d'une hyperbole équilatère et d'un cercle dont elle porte le centre

L'un des quatre points d'intersection est le symétrique du centre du cercle, noté ici I.
Son symétrique sur le cercle est noté J. Le point A est l'intersection des parallèles aux asymptotes menées des point I et J.
Le diamètre A O A' n'est autre que la tangente à l'hyperbole en O, centre du cercle.
Le point P, deuxième intersection, est tel que l'angle A O P est égal au tiers de l'angle A O J.
Les deux autres intersections, Q et R forment avec le point P un triangle équilatéral.

En choisissant judicieusement le centre du cercle sur l'hyperbole on tri-secte un angle donné.
Cependant cette trisection reste impossible à réaliser par la règle et le compas: il y faut la résolution d'une équation de degré 4.
Dans la suite on aura donc recours à une mesure de l'angle à tri-secter.

L'application de la figure ci-dessus à la deltoïde de Steiner permet la détermination de ses caractéristiques.

en rouge le triangle équilatéral des intersections

 Les sommets du triangle équilatéral sont les points du cercle circonscrit dont les droites de Simson passent par le centre de la H3 (Jean-Denis Eiden)
Ces droites de Simson donnent alors les sommets de la H3.
Des considérations simples de géométrie angulaire sur les angles A O J et A I J livrent la valeur des angles entre ces droites et les cotés du triangle de base:
pour le coté B C: pi/2 - (B - C) / 3

On peut faire plus simple en opérant sur le cercle d'Euler au lieu du cercle circonscrit (homothétie de valeur 1/2):

positionnement direct sur le cercle d'Euler des axes de la H3


le théorème de Morley

Les paires de trisectrices adjacentes des angles d'un triangle se coupent en trois points formant triangle équilatéral.


en rouge la "merveille" de Morley

C'est vraisemblablement l'obstacle de la trisection de l'angle qui a repoussé une telle découverte jusqu'au XIX ème siècle.
La démonstration est facile si on connait la formule trigonométrique suivante: sin(3t) = 4.sin(t).sin(pi/3 + t).sin(pi/3 - t).

Si on utilise les trisectrices extérieures des angles on construit cinq autres triangles équilatéraux:

en plus du triangle interne, trois autres rouges et deux bleus

En fait y a 27 triangles équilatéraux mais la figure ci dessus est la plus belle.

Propriété étonnante: les directions des axes de la deltoïde et des triangles de Morley sont les mêmes.

triangles partageant une même H3

Donner la valeur de l'angle entre l'axe "vertical" de la deltoïde et le coté concerné du triangle, c'est fixer, sur le cercle des neuf points, le pied A0 de la hauteur issue du sommet A.
Le pied de la médiane A1 en découle et par là le segment qui porte le centre du cercle circonscrit de rayon double de celui des neuf points. Le triangle est alors défini.

Enfin, sur l'excellent forum "Les-Mathématiques.net" emmené magistralement par un avatar de Pappus d'Alexandrie qui vécut au IV éme siècle après JC, on signale une propriété des paraboles circonscrites à un triangle. En effet leurs axes sont des droites de Simson du triangle médian et ils enveloppent donc sa deltoïde de Steiner :

parabole circonscrite et H3 du triangle médian


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