5 cercle de Tucker, propriétés des triangles de Wolstenholme

Soient K le point symédian, O1 le premier point de Brocard, omega l'angle de Brocard


Soit A'B'C' le triangle de Wolstenholme pour une certaine valeur de l'angle AO1A' noté u.
Les triangles semblables ABC et A'B'C' ont même angle de Brocard et même premier point de brocard O1,centre de similitude.
Le rapport de similitude est égal à sin(omega)/sin(omega+u). Celui-ci est minimum pour u = pi/2-omega et vaut alors sin(omega).
Le triangle correspondant a pour sommets A", B", C" projections de O1 sur les cotés de ABC.
Tout point P attaché au triangle A'B'C' décrit, suivant u, une perpendiculaire à la droite définie par O1 et la position P" de P pour u = pi/2-omega.
Si O' et O" désignent le second point de Brocard, respectivement, des triangles A'B'C' et A"B"C", O' décrit la droite perpendiculaire en O" à O1O".
K étant le second point de Brocard du triangle A'B'C' correspondant à u = omega (premier cercle de Lemoine), cette droite passe par K.
Toute droite attachée au triangle A'B'C' enveloppe, suivant u, la parabole de foyer O1 ayant pour sommet la projection de O1 sur la droite correspondant à u = pi/2-omega.
La droite joignant le centre du cercle de Tucker X' à O',second point de Brocard du triangle A'B'C', enveloppe ainsi la parabole construite.