7 enveloppe des cercles de Tucker

Soient R le rayon du cercle circonscrit, omega l'angle de Brocard, "e" l'excentricité de l'ellipse de Brocard.



Les cercles de Tucker forment un système paramétré de cercles centrés sur l'axe de Brocard et symétriques autour de la droite joignant les 2 points de Brocard.
Pour la valeur u du paramètre, le centre est à la distance R.e.sin(omega)/tan(u+omega) de cette droite et le rayon est égal à R.sin(omega)/sin(u+omega).
Ils enveloppent l'ellipse de Brocard et n'y pénètrent pas: ils l'encerclent.
Les points de contact sont réels ou imaginaires suivant la valeur du paramètre.
Le cercle circonscrit au triangle est le cercle de Tucker correspondant à u=0. Pour u croissant de 0 à PI/2-omega le rayon du cercle diminue.
Pour u0 tel que sin(omega+u0)=2sin(omega), ce qui s'écrit sin(u0)=sin(omega)(2cos(omega)-e), le cercle est osculateur à l'ellipse au sommet du petit axe et son rayon est R/2.
A partir de cette valeur u0 les points de contact sont réels.
Ensuite le cercle s'écarte de l'ellipse, les points de contact glissant vers les sommets du grand axe.
Pour u=C, (angle ACB), le cercle et l'ellipse sont tangents au coté AB du triangle.
Enfin, pour u=PI/2-omega, le cercle atteint sa taille minimale et devient le cercle principal de l'ellipse capturée.
(en bleu continu le cercle osculateur, en rouge le cercle principal)