1 premier cercle de Lemoine
Soient X le centre du cercle circonscrit de rayon R, K le point symédian, O1 et O2 les points de Brocard, omega l'angle de Brocard.
Les parallèles aux cotés, passant par K, coupent ces cotés en 6 points cocycliques sur le premier cercle de Lemoine.
Le centre L de ce cercle est situé au milieu du segment KX, son rayon est égal à R/(2.cos(omega)).
La longueur du segment KX est égale à R.rac(1-3.tan(omega)2).
Les angles des arcs interceptés B"C', C"A', A"B' valent 2.omega.
Le triangle AC'O1 est isocèle: les angles en A et O1 sont égaux à omega.
Le cercle divise chaque coté proportionnellement aux carrés des cotés: pour BC=a, coefficient a/(a2+b2+c2) ou R.tan(omega)/(b.c).
Les 3 cordes interceptées C'C", A'A", B'B" sont proportionnelles aux cubes des cotés, coefficient 1/(a2+b2+c2) ou R.tan(omega)/(a.b.c).
D'où le nom anglo-saxon du premier cercle de Lemoine: "triplicate ratio circle"