13 triangles co-Brocardaux: Particularités
Selon la valeur de l'excentricité e et donc de l'angle de Brocard omega, la variété des triangles "co-Brocardaux" diffère.
Si tan(omega) > 0.5 tous les triangles composant le système sont acutangles, sinon il en existe aussi des obtusangles et l'un des triangles, ainsi que son symétrique, est rectangle.
Le cercle de Taylor de ce triangle rectangle est confondu avec le 2ème cercle de Lemoine qui est alors tangent au triangle et à l'ellipse au pied de la symédiane issue de l'angle droit.
Si tan(omega) = 0.5, (omega = 26.565°), l'excentricité est rac(5)/5 et le rapport des axes rac(5)/2, le centre du cercle circonscrit est un sommet du petit axe.
Dans tous les cas, parmi l'ensemble des triangles du système, il y a deux triangles isocèles dont le sommet est sur l'axe de Brocard.
Ils sont co-symédians et leurs angles au sommet A encadrent les valeurs des angles de tous les triangles du système.
Leurs angles au sommet A sont les solutions de l'équation sin(A+omega) = 2.sin(omega) ce qui s'écrit aussi cos(A) = 2.sin2(omega) +(-) e.cos(omega), ou encore
tan(A/2) = sin(omega)/(cos(omega)+(-)e), ou encore tan(A/2) = (cot(omega) +(-) rac(cot2(omega)-3))/3, ou encore cot(A/2) = cot(omega)+(-)rac(cot2(omega)-3).
Les deux valeurs obtenues sont celles des "angles de Steiner" et vérifient les deux relations suivantes:
A1/2 + A2/2 = PI/2-omega et
tan(A1/2).tan(A2/2) = 1/3
Leurs cercles des neuf points d'Euler sont les cercles de Tucker osculateurs à l'ellipse. Ceux-ci correspondent aux triangles de Wolstenholme dont les paramètres sont A1 et A2.
Leurs cercles de Taylor ont pour rayon R.rac((cos(A)+1)2 - 4.cos3(A))/2.
Les surfaces des deux triangles sont égales à R2.sin(omega).((3-2.e2).cos(omega)+(-)e3).