8 cercle de Taylor, centre et rayon

Soit PQR le triangle orthique du triangle ABC, LMN le triangle médian du triangle orthique, R le rayon du cercle circonscrit à ABC.

Le cercle de Taylor, riche (sic!) de belles particularités, se construit:

- soit en projetant les sommets du triangle orthique sur les cotés du triangle ABC .

- soit en prolongeant les cotés du triangle médian du triangle orthique vers les cotés de ABC.

Le centre du cercle de Taylor est le point de concours des perpendiculaires aux cotés du triangle ABC menées depuis les sommets du triangle médian.

Il coïncide avec le centre du cercle inscrit dans ce triangle médian si le triangle ABC est acutangle, sinon avec le centre du cercle exinscrit opposé au sommet présentant l'angle obtus.

Son rayon est égal à R.rac(sin²(A).sin²(B).sin²(C)-cos²(A).cos²(B).cos²(C))

Le cercle de Taylor fait partie de la famille des cercles de Tucker: son triangle de Wolstenholme est le triangle FDE correspondant à u₁ tel que

tan(u₁)= - tan(A).tan(B).tan(C), ce qui s'écrit aussi tan(u₁)=a.b.c/R((a²+b²+c²)-8R²).

Les cordes tricolores ont pour longueur le demi périmètre du triangle orthique, soit R.sin(A).sin(B).sin(C).

Le rayon du cercle inscrit dans le triangle médian du triangle orthique est égal à R.cos(A).cos(B).cos(C).