1 premier cercle de Lemoine

Soient X le centre du cercle circonscrit de rayon R, K le point symédian, O₁ et O₂ les points de Brocard, omega l'angle de Brocard.

Les parallèles aux cotés, passant par K, coupent ces cotés en 6 points cocycliques sur le premier cercle de Lemoine.

Le centre L de ce cercle est situé au milieu du segment KX, son rayon est égal à R/(2.cos(omega)).

La longueur du segment KX est égale à R.rac(1-3.tan(omega)²).

Les angles des arcs interceptés B"C', C"A', A"B' valent 2.omega.

Le triangle AC'O₁ est isocèle: les angles en A et O₁ sont égaux à omega.

Le cercle divise chaque coté proportionnellement aux carrés des cotés: pour BC=a, coefficient a/(a²+b²+c²) ou R.tan(omega)/(b.c).

Les 3 cordes interceptées C'C", A'A", B'B" sont proportionnelles aux cubes des cotés, coefficient 1/(a²+b²+c²) ou R.tan(omega)/(a.b.c).

D'où le nom anglo-saxon du premier cercle de Lemoine: "triplicate ratio circle"