3 cercle de Tucker, hexagone de Tucker, triangle de Wolstenholme

Soient X le centre du cercle circonscrit de rayon R, K le point symédian, O₁ et O₂ les points de Brocard, omega l'angle de Brocard.

Soit M point libre sur la droite AB repéré par l'angle AO₁M = u.

A partir de M on mène les paralléles et anti-paralléles aux cotés du triangle et les six points d'intersection avec les cotés donnent

l'hexagone de Tucker MNOPQR. Ces six points sont cocycliques sur le cercle de Tucker.

Le centre T est situé sur la droite KX et il est tel que KT/KX = cos(u).sin(omega)/sin(omega+u). Le rayon est égal à R.sin(omega)/sin(omega +u).

Les angles des arcs interceptés MN, PO, RQ sont égaux à 2u.

Les triangles MOQ et PRN sont semblables au triangle ABC et les angles BMO, COQ, AQM sont égaux à u.

Jusqu'à plus ample informé, appelons ces triangles les triangles de Wolstenholme.

Pour u = omega on obtient le premier cercle de Lemoine et pour u = pi/2 le second cercle de Lemoine.