6 cercle de Tucker et ellipse de Brocard

Soient X le centre du cercle circonscrit de rayon R, K le point symédian, O₁ et O₂ les points de Brocard, omega l'angle de Brocard.

Rappel: l'ellipse de Brocard inscrite dans le triangle ABC a pour point de Brianchon le point symédian K et les points de contact sont donc sur les céviennes passant par K.

Les points de Brocard sont les foyers et l'axe de Brocard KX, l'axe non focal.

Le demi petit axe est égal à 2R.sin²(omega), le demi grand axe à R.sin(omega) et l'excentricité "e" à rac(1-4sin²(omega)).

Les triangles A'B'C' de Wolstenholme sont tous semblables entre eux et en particulier tous semblables au plus petit d'entre eux, le triangle A"B"C", correspondant à u=PI/2-omega.

Le cercle de Tucker associé à A"B"C" a pour rayon R.sin(omega) et son centre coïncide avec le centre de l'ellipse: il en est donc le cercle principal.

Pour ce triangle, le rapport de la distance entre le centre du cercle de Tucker et le premier point de Brocard, d'une part, et le rayon du cercle de Tucker, d'autre part, est égal à "e".

Il en est de même pour tous les triangles de Wolstenholme et pour tous les cercles de Tucker: X'O₁=e.rayon=e.X't, t étant un point du cercle..

Or, une génération de l'ellipse, à partir d'un point de l'axe non focal et des normales passant par ce point, utilise précisément cette propriété de l'ellipse.

Il en résulte que le cercle de Tucker et l'ellipse de Brocard ont les mêmes normales en leurs points de contact et sont donc constamment tangents.

Les cercles de Tucker enveloppent l'ellipse de Brocard.