12 triangles "co-Brocardaux": Propriétés

Tous les triangles partageant la même ellipse de Brocard composent le système des triangles "co-Brocardaux" de l'ellipse.

Ces triangles ont même cercle circonscrit, même angle de Brocard, même cercle de Brocard et même système de cercles de Tucker.

Le premier cercle de Lemoine est unique et commun à tous ces triangles et il en est de même pour le second cercle de Lemoine.

Ces deux cercles (en rouge) se coupent sur un diamètre du premier.

Les rayons du premier cercle de Lemoine, celui du second cercle de Lemoine et celui du cercle de Brocard sont respectivement proportionnels

au demi grand axe, au demi petit axe et à la demi distance des foyers de l'ellipse. Il en résulte que la différence entre les surfaces des deux cercles de Lemoine est égale à la surface du cercle de Brocard.

Cependant chaque triangle a un cercle de Taylor qui lui est propre puisque celui-ci met en jeu les angles. Ce cercle est le cercle de Tucker d'autres triangles.

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En prolongeant les symédianes de l'un des triangles ABC du système jusqu'au cercle circonscrit on obtient un second triangle A'B'C' du système qui partage avec le premier les mêmes symédianes: les deux triangles sont "co-symédians" et Simmons démontre que la somme des inverses de leurs surfaces est constante et égale à 2.cotan(omega)(9+cotan²(omega))/(27.R²).

Le point F deuxième intersection de la symédiane AK avec le cercle de Brocard est au milieu du segment joignant A à son homologue A' puisque FX est perpendiculaire à AK.

F est l'un des sommets du deuxième triangle de Brocard et un centre de similitude pour BA et AC.

En vertu d'une propriété classique des tangentes menées d'un point à une parabole,

F est aussi le foyer de la parabole tangente en B et en C aux cotés AB et AC du triangle.