14 triangles "co-Brocardaux": calcul d'un triangle

La donnée du cercle circonscrit de rayon R et de la valeur omega de l'angle de Brocard détermine un système de triangles.

Si on donne en sus la valeur de la surface S, le triangle est parfaitement déterminé et ses trois cotés a, b et c peuvent être calculés.

On a en effet les relations suivantes:

a².b².c² = 16.R².S²

a².b²+b².c²+c².a² = 4.S²/sin²(omega)

a²+b²+c² = 4.S/tan(omega)

Les carrés des trois cotés du triangle sont donc les racines de l'équation du troisième degré:

x³-x².4.S/tan(omega)+x.4.S²/sin²(omega)-16.R².S² = 0.

Cette équation admet trois racines si le discriminant est négatif c'est à dire si S est compris entre les deux valeurs données par S = 27.R².sin³(omega)/((3-2.e²).cos(omega)+(-)e³), ce qui s'écrit aussi S = R².sin(omega).((3-2.e²)cos(omega)+(-)e³)

Ces deux valeurs sont celles calculées pour les surfaces des deux triangles isocèles extrêmes.

Rappelons que e, excentricité de l'ellipse de Brocard égale à rac(1-4.sin²(omega)), permet d'alléger les notations.

Ci-dessus en vert le triangle ABC inscrit dans le cercle donné, avec XK = R.e/cos(omega) et de surface S comprise entre celles des deux triangles isocèles A'B'C' et A"B"C"