11 triangles "co-Brocardaux" : Génération

Pour un triangle donné on a défini son système de cercles de Tucker: ce sont les cercles centrés sur l'axe de Brocard et dont le rapport entre la distance du centre à un point de Brocard, et le rayon, est constant et égal à l'excentricité de l'ellipse de Brocard (ils sont tangents à celle-ci).

La donnée de cette ellipse, foyers et excentricité, ou bien centre et axes, définit donc, à elle seule, ce système de cercles, indépendamment du triangle de départ.

Tout triangle admettant cette ellipse comme ellipse de Brocard fait l'affaire!

Ces triangles ont même cercle circonscrit, même point symédian, même angle de Brocard, mêmes points de Brocard et même système de cercles de Tucker.

On définit ainsi, de façon inverse, à partir d'une ellipse, un système de triangles, appelés "co-Brocardal triangles" par Simmons en 1888.

La connaissance de l'excentricité e, ou des axes a et b, entraîne celle de l'angle de Brocard, par sin(omega)=b/(2.a), du rayon R du cercle circonscrit par R=2.a²/b, de la distance du centre O de l'ellipse au centre X de ce cercle par OX=R.e.cos(omega) et de celle du centre de l'ellipse au point symédian K par OK=R.e.sin(omega).tan(omega).

A tout point T de l'axe XK correspond le cercle de Tucker dont le rayon est égal à la distance de T à un foyer O₂ de l'ellipse, divisée par l'excentricité e.

Un point quelconque D de ce cercle de Tucker est alors le premier sommet d'un triangle de Wolstenholme et détermine un triangle du système dont le premier sommet A résulte de l'égalité: angle DO₂A=angle TO₂X. Les autres sommets du triangle de Wolstenholme DEF et du triangle du système ABC s'en déduisent.

Une définition encore plus synthétique du système de triangles partageant la même ellipse de Brocard découle de la propriété suivante:

KJ² = R^{2 -} XK² = 3.R^2.tan²(omega) = 3MN² = 3KL². D'où la relation très simple: KL = KJ.rac(3).

Ainsi la seule donnée du cercle circonscrit et du point symédian définit le système de triangles co-Brocardaux.

On note aussi que le milieu P du segment KJ appartient à l'ellipse (dont le demi grand axe est R.sin(omega) et le demi petit axe 2.R.sin²(omega)).

Source: John James Milne, Companion to the weekly problem papers, Macmillan and co, London 1888 réédité par Elibron Classics 2005.